Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()» для 10 класса - сложность 1-3 с решениями

Дан вписанный четырёхугольник <i>АВСD</i>. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Пусть <i>К</i> и <i>N</i> – середины диагоналей.

Докажите, что сумма углов <i>PKQ</i> и <i>PNQ</i> равна 180°.

Все коэффициенты некоторого непостоянного многочлена целые и по модулю не превосходят 2015.

Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем ¹/₂₀₁₆.

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

Геометрическая прогрессия состоит из 37 натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты.

Докажите, что 19-й член прогрессии является 18-й степенью натурального числа.