Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс»

По кругу записывают 2015 натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший общий делитель.

Найдите наибольшее натуральное <i>N</i>, на которое гарантированно будет делиться произведение этих 2015 чисел.

Точки <i>K</i> и <i>L</i> делят медиану <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i> на три равные части, точка <i>K</i> лежит между <i>L</i> и . Отметили точку <i>P</i> так, что треугольники <i>KPL</i> и <i>ABC</i> подобны, причём <i>P</i> и <i>C</i> лежат в одной полуплоскости относительно прямой <i>AM</i>. Докажите, что <i>P</i> лежит на прямой <i>AC</i>.

Ковёр имеет форму квадрата со стороной 275 см. Моль проела в нем четыре дырки. Можно ли гарантированно вырезать из ковра квадратный кусок со стороной 1 м, не содержащий дырок? Дырки считайте точечными.

Петя сложил 100 последовательных степеней двойки, начиная с некоторой, а Вася сложил некоторое количество последовательных натуральных чисел, начиная с 1. Могли ли они получить один и тот же результат?

Дано  2<i>n</i> + 1  число (<i>n</i> – натуральное), среди которых одно число равно 0, два числа равны 1, два числа равны 2, ..., два числа равны <i>n</i>. Для каких <i>n</i> эти числа можно записать в одну строку так, чтобы для каждого натурального <i>m</i> от 1 до <i>n</i> между двумя числами, равными <i>m</i>, было расположено ровно <i>m</i> других чисел?