Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс»

Космический аппарат сел на неподвижный астероид, про который известно только, что он представляет собой шар или куб. Аппарат проехал по поверхности астероида в точку, симметричную начальной относительно центра астероида. Всё это время он непрерывно передавал свои пространственные координаты на космическую станцию, и там точно определили трёхмерную траекторию аппарата. Может ли этого оказаться недостаточно, чтобы отличить, по кубу или по шару ездил аппарат?

Наименьшее общее кратное натуральных чисел <i>a, b</i> будем обозначать [<i>a, b</i>]. Пусть натуральное число <i>n</i> таково, что  [<i>n, n</i> + 1] > [<i>n, n</i> + 2] > ... > [<i>n, n</i> + 35].

Докажите, что  [<i>n, n</i> + 35] > [<i>n, n</i> + 36].

На сторонах треугольника <i>ABC</i> построены три подобных треугольника: <i>YBA</i> и <i>ZAC</i> – во внешнюю сторону, а <i>XBC</i> – внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке). Докажите, что <i>AYXZ</i> – параллелограмм.

На шахматной доске стоят восемь не бьющих друг друга ладей. Докажите, что можно каждую из них передвинуть ходом коня так, что они по-прежнему не будут бить друг друга. (Все восемь ладей передвигаются "одновременно", то есть если, например, две ладьи бьют друг друга ходом коня, то их можно поменять местами.)

Найдётся ли такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырёхзначное число?