Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями

Задача 216393 • Сложность: 2 • 10-11 класс

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> – основания высот из вершин <i>A, B, C</i>, точки <i>C<sub>А</sub></i> и <i>C<sub>В</sub></i> – проекции <i>C</i><sub>1</sub> на <i>AC</i> и <i>BC</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i>C<sub>А</sub>C<sub>В</sub></i> делит пополам отрезки <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>.

Фольклор Планиметрия
Задача 216391 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек  (<i>A, B</i>)  назовём <i>необычной</i>, если <i>A</i> – самая дальняя от <i>B</i> отмеченная точка, а <i>B</i> – ближайшая к <i>A</i> отмеченная точка (не считая самой точки <i>A</i>). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?

Френкин Б. Р. Планиметрия Комбинаторная геометрия Доказательство от противного

Фильтры

Все
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Все
1
2
3
4
5
Локальная подборка