Олимпиадная задача по планиметрии для 10-11 классов: серединные проекции в треугольнике
Задача
В треугольнике ABC точки A1, B1, C1 – основания высот из вершин A, B, C, точки CА и CВ – проекции C1 на AC и BC соответственно.
Докажите, что прямая CАCВ делит пополам отрезки C1A1 и C1B1.
Решение
Из решения задачи 208197 видно, что основания перпендикуляров, опущенных из вершины K треугольника KLM на биссектрисы углов L и M, лежат на средней линии, параллельной стороне LM. Аналогично доказывается то же для оснований перпендикуляров, опущенных на биссектрисы внешних углов.
Высоты треугольника ABC являются биссектрисами (внешних или внутренних) углов треугольника A1B1C1 (см. задачу 156512 а). Значит, перпендикулярные им стороны треугольника ABC – биссектрисы дополнительных углов. Как сказано выше, основания CА и CВ перпендикуляров, опущенных из вершины C1 на AC и BC, лежат на средней линии треугольника A1B1C1, параллельной стороне A1B1. А это и требовалось.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь