Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» для 5-11 класса - сложность 3 с решениями

Из гирек весами 1 г, 2 г, ..., <i>N</i> г требуется выбрать несколько (больше одной) с суммарным весом, равным среднему весу оставшихся гирек. Докажите, что

  а) это можно сделать, если  <i>N</i> + 1  – квадрат целого числа.

  б) если это можно сделать, то  <i>N</i> + 1  – квадрат целого числа.

Найдите все такие натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  (<i>a + b</i>²)(<i>b + a</i>²)  является целой степенью двойки.