Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» для 3-11 класса - сложность 3-5 с решениями

Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 2009 островов, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера. Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по очереди выбирая остров, на котором еще не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите, что Оля может выиграть.

На клетчатую плоскость положили 2009 одинаковых квадратов, стороны которых идут по сторонам клеток. Затем отметили все клетки, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше, чем клеток в одном квадрате.

Из гирек весами 1 г, 2 г, ..., <i>N</i> г требуется выбрать несколько (больше одной) с суммарным весом, равным среднему весу оставшихся гирек. Докажите, что

  а) это можно сделать, если  <i>N</i> + 1  – квадрат целого числа.

  б) если это можно сделать, то  <i>N</i> + 1  – квадрат целого числа.

Найдите все такие натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  (<i>a + b</i>²)(<i>b + a</i>²)  является целой степенью двойки.