Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»

Квадрат со стороной 1 см разрезан на три выпуклых многоугольника. Может ли случиться, что диаметр каждого из них не превосходит

  а) 1 см;   б) 1,01 см;   в) 1,001 см?

Фокусник с завязанными глазами выдаёт зрителю 29 карточек с номерами от 1 до 29. Зритель прячет две карточки, а остальные отдаёт ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?

Дана прямая и две точки <i>A</i> и <i>B</i>, лежащие по одну сторону от этой прямой на равном расстоянии от неё.

Как с помощью циркуля и линейки найти на прямой такую точку <i>C</i>, что произведение  <i>AC</i>·<i>BC</i>  будет наименьшим?

На бумажке записаны три положительных числа <i>x, y</i> и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

 a) число <i>x</i>²?   б) число <i>xy</i>?

На экране компьютера стоят в ряд 200 человек. На самом деле эта картинка составлена из 100 фрагментов, на каждом – пара: взрослый и ребёнок пониже ростом. Разрешается в каждом из фрагментов изменить масштаб, уменьшив при этом одновременно рост взрослого и ребёнка в одинаковое целое число раз (масштабы разных фрагментов можно менять независимо друг от друга). Докажите, что это можно сделать так, что на общей картинке все взрослые будут выше всех детей.