Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 10 класса - сложность 3-5 с решениями
весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
НазадОкружность Ω<sub>1</sub> проходит через центр окружности Ω<sub>2</sub>. Из точки <i>C</i>, лежащей на Ω<sub>1</sub>, проведены касательные к Ω<sub>2</sub>, вторично пересекающие Ω<sub>1</sub> в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что отрезок <i>AB</i> перпендикулярен линии центров окружностей.
На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
Икосаэдр и додекаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же сферы.
Существует ли такой квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>), что для любого натурального <i>n</i> уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(...<i>f</i>(<i>x</i>))) = 0 (<i>n</i> букв "<i>f</i>") имеет ровно 2<i>n</i> различных действительных корней?
Пусть <i>A</i> – угловая клетка шахматной доски, <i>B</i> – соседняя с ней по диагонали клетка. Докажите, что число способов обойти всю доску <i>хромой ладьей</i> (ходит на одну клетку по вертикали или горизонтали), начиная с клетки <i>A</i>, больше, чем число способов обойти всю доску хромой ладьей, начиная с клетки <i>B</i>. (Ладья должна побывать на каждой клетке ровно один раз.)
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый отрезок покрашен в один из <i>K</i> цветов. Петя хочет покрасить каждую точку в один из этих цветов так, чтобы не нашлось двух точек и отрезка между ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли Пете это удастся, если
a) <i>K</i> = 7; б) <i>K</i> = 10?
Фома и Ерёма делят кучку из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучки, а другой говорит, кому её отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве – тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерёма, или Ерёма всегда сможет Фоме помешать?