Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 7-10 класса - сложность 2-5 с решениями

При каких <i>N</i> числа от 1 до <i>N</i> можно расставить в другом порядке так, чтобы среднее арифметическое любой группы из двух или более подряд стоящих чисел не было целым?

Даны два многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) положительной степени, причём  <i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) ≡ <i>Q</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>))  и  <i>P</i>(<i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>))) ≡ <i>Q</i>(<i>Q</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>))).

Обязательно ли тогда  <i>P</i>(<i>x</i>) ≡ <i>Q</i>(<i>x</i>)?

В ящике лежат 100 шариков: белые, синие и красные. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одного цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одного цвета?

Три окружности проходят через точку <i>X. A, B, C</i> – точки их пересечения, отличные от <i>X. A'</i> – вторая точка пересечения прямой <i>AX</i> и описанной окружности треугольника <i>BCX</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> определяются аналогично. Докажите, что треугольники <i>ABC', AB'C</i> и <i>A'BC</i> подобны.

Сколько существует разных способов разбить число 2004 на натуральные слагаемые, которые <i>приблизительно равны</i>? Слагаемых может быть одно или несколько. Числа называются <i>приблизительно равными</i>, если их разность не больше 1. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.