Задача
При каких N числа от 1 до N можно расставить в другом порядке так, чтобы среднее арифметическое любой группы из двух или более подряд стоящих чисел не было целым?
Решение
Нечётные N не подходят: в этом случае среднее арифметическое ½ (N + 1) всех чисел целое.
При чётном N = 2m искомой расстановкой является, например, такая: 2, 1, 4, 3, 6, 5, ..., 2m, 2m – 1.
Действительно, группу из 2k подряд стоящих чисел можно разбить на пары чисел, расположенных симметрично относительно середины группы (например, группа 1, 4, 3, 6, 5, 8 разбивается на пары (1, 8), (4, 5), (3, 6)). В каждой паре среднее арифметическое – одно и то же полуцелое число (в пару входят числа разной чётности). Значит, и среднее арифметическое всей группы – то же самое нецелое число.
Группа из 2k + 1 подряд стоящих чисел состоит из 2k последовательных чисел и одного числа с краю. Если это число поменять с его соседом в расстановке, не входящим в группу, получим 2k + 1 последовательных чисел, их среднее арифметическое целое. Значит, среднее арифметическое чисел группы отличается от этого целого на 1/2k+1.
Ответ
При всех чётных N.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь