Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс» для 1-9 класса - сложность 2 с решениями

а) Есть три одинаковых больших сосуда. В одном – 3 л сиропа, в другом – 20 л воды, третий – пустой. Можно выливать из одного сосуда всю жидкость в другой или в раковину. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них из третьего, пока уровни жидкости в выбранных сосудах не сравняются. Как получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа? б) То же, но воды – <i>N</i> л. При каких целых <i>N</i> можно получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа?

Сумма <i>n</i> последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.

В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> и высота <i>BK</i> пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к <i>AC</i> и высота <i>CH</i>, также пересекаются в одной точке.