Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс» - сложность 3-4 с решениями

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины <i>A</i> с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

Первоначально на доске написано число 2004!. Два игрока ходят по очереди. Игрок в свой ход вычитает из написанного числа какое-нибудь натуральное число, которое делится не более чем на 20 различных простых чисел (так, чтобы разность была неотрицательна), записывает на доске эту разность, а старое число стирает. Выигрывает тот, кто получит 0. Кто из играющих – начинающий или его соперник – может гарантировать себе победу, и как ему следует играть?

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Их общая касательная (та, которая ближе к точке <i>B</i>) касается окружностей в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Прямая <i>AB</i> пересекает прямую <i>EF</i> в точке <i>M</i>. На продолжении <i>AM</i> за точку <i>M</i> выбрана точка <i>K</i> так, что  <i>KM = MA</i>.  Прямая <i>KE</i> вторично пересекает окружность, содержащую точку <i>E</i>, в точке <i>C</i>. Прямая <i>KF</i> вторично пересекает окружность, содержащую точку <i>F</i>, в точке <i>D</i>. Докажите, что точки <i>C, D</i> и <i>A</i> лежат...