Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс» для 5-10 класса - сложность 3-5 с решениями

<i>N</i> точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, попарно соединили отрезками (каждую с каждой). Часть отрезков покрасили красным, остальные – синим. Все красные отрезки образовали замкнутую несамопересекающуюся ломаную, и все синие отрезки – тоже. Найдите все <i>N</i>, при которых это могло получиться.

На полоске 1×<i>N</i> на 25 левых клетках стоят 25 шашек. Шашка может ходить на соседнюю справа свободную клетку или перепрыгивать через соседнюю справа шашку на следующую за ней клетку (если эта клетка свободна), движение влево не разрешается. При каком наименьшем <i>N</i> все шашки можно поставить без пробелов в обратном порядке?

У каждого целого числа от  <i>n</i> + 1  до 2<i>n</i> включительно (<i>n</i> – натуральное) возьмём наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители.

Докажите, что получится <i>n</i>².