Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 9-10 класса - сложность 1-5 с решениями
осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
НазадНа сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть <i>A, B, C</i> и <i>D</i> – вершины их прямых углов, а <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub>, <i>O</i><sub>3</sub> и <i>O</i><sub>4</sub> – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что
а) площадь четырёхугольника <i>ABCD</i> не превосходит 2;
б) площадь четырёхугольника <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>O</i><sub>3</sub><i>O</i><sub>4</sub> не превосходит 1.
Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).
У продавца и покупателя в сумме 1999 рублей монетами и купюрами в 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей. Кот в мешке стоит целое число рублей, причём денег у покупателя достаточно. Докажите, что покупатель сможет купить кота, получив причитающуюся сдачу.
Какое наименьшее количество квадратиков 1×1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25×25, разделённого на 625 квадратиков 1×1?
У каждого целого числа от <i>n</i> + 1 до 2<i>n</i> включительно (<i>n</i> – натуральное) возьмём наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители.
Докажите, что получится <i>n</i>².