Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 6-10 класса - сложность 3-5 с решениями

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

У продавца и покупателя в сумме 1999 рублей монетами и купюрами в 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей. Кот в мешке стоит целое число рублей, причём денег у покупателя достаточно. Докажите, что покупатель сможет купить кота, получив причитающуюся сдачу.

У каждого целого числа от  <i>n</i> + 1  до 2<i>n</i> включительно (<i>n</i> – натуральное) возьмём наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители.

Докажите, что получится <i>n</i>².