Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 1-9 класса - сложность 2-3 с решениями

В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.

Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере &frac23; задач этой контрольной оказались <i>трудными</i>: каждую такую задачу не решили по крайней мере &frac23; школьников. Известно также, что по крайней мере &frac23; школьников класса написали контрольную <i>хорошо</i>: каждый такой школьник решил по крайней мере &frac23; задач контрольной. Могло ли такое быть? Изменится ли ответ, если везде в условии заменить &frac23; на   б) ¾;   в) ⁷/₁₀?

Саша и Маша загадали по натуральному числу и сообщили их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?