Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 2-9 класса - сложность 3-4 с решениями
весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
НазадВ остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AH<sub>A</sub>, BH<sub>B</sub></i> и <i>CH<sub>C</sub></i>.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников <i>AH<sub>B</sub>H<sub>C</sub>, BH<sub>A</sub>H<sub>C</sub></i> и <i>CH<sub>A</sub>H<sub>B</sub></i> равен треугольнику <i>H<sub>A</sub>H<sub>B</sub>H<sub>C</sub></i>.
а) На две клетки шахматной доски выставляются чёрная и белая фишки. Разрешается по очереди передвигать их, каждым ходом сдвигая очередную фишку на любое свободное соседнее поле по вертикали или горизонтали. Могут ли на доске в результате таких ходов встретиться все возможные позиции расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
б) А если разрешается сдвигать фишки в любом порядке (не обязательно по очереди)?
На доске нарисовали выпуклый многоугольник. В нём провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри него, так что он оказался разбит на треугольники. Затем возле каждой вершины записали число треугольников, примыкающих к этой вершине, после чего все диагонали стерли. Можно ли по оставшимся возле вершин числам восстановить стёртые диагонали?