Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 2-9 класса - сложность 2-3 с решениями
осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
НазадНеутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.
а) На каждом из полей верхней и нижней горизонтали шахматной доски 8×8 стоит по фишке: внизу – белые, вверху – чёрные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на соседнюю свободную клетку по вертикали или горизонтали. За какое наименьшее число ходов можно добиться того, чтобы все чёрные фишки стояли внизу, а белые – вверху? б) Тот же вопрос для доски 7×7.
100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.
Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, <i>C'</i> и <i>A'</i> – произвольные точки на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, <i>B'</i> – середина стороны <i>AC</i>.
а) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> не больше половины площади треугольника <i>ABC</i>.
б) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> равна четверти площади треугольника <i>ABC</i> тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек <i>A', C'</i> совпадает с серединой соответствующей стороны.
Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке, что сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится на самое левое число этой тройки. Какое максимальное количество чисел могло быть выписано, если последнее число строки нёчётно?