Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 7-10 класса - сложность 3-5 с решениями

Отрезок <i>AB</i> пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причём все точки пересечения прямой <i>AB</i> с окружностями лежат между <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проводятся касательные к окружности, ближайшей к <i>A</i>, через точку <i>B</i> – касательные к окружности, ближайшей к <i>B</i>. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырёхугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.

Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.

В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.