Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 1-8 класса - сложность 2-5 с решениями

<i>a</i> и <i>b</i> – две данные стороны треугольника.

  Как подобрать третью сторону <i>c</i> так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?

  При каких <i>a</i> и <i>b</i> такая сторона существует?

(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны <i>c</i> и продолжений сторон <i>a</i> и <i>b</i>.)

На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга.

Докажите, что такая расстановка единственна.  

Докажите, что уравнение  <i>xy</i>(<i>x – y</i>) + <i>yz</i>(<i>y – z</i>) + <i>zx</i>(<i>z – x</i>) = 6  имеет бесконечно много решений в целых числах.

а) Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки доски 3×3? (Чтобы клетка была разрезана, прямая должна проходить через внутреннюю точку этой клетки.)

б) Та же задача для доски 4×4.