Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 10-11 класс» - сложность 4-5 с решениями

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.

Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Пусть  1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>n</i>–1 = <i>F</i>(<i>x</i>)<i>G</i>(<i>x</i>),  где <i>F</i> и <i>G</i> – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (<i>n</i> > 1).

Докажите, что один из многочленов <i>F</i>, <i>G</i> представим в виде  (1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>k</i>–1)<i>T</i>(<i>x</i>),  где <i>T</i>(<i>x</i>) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (<i>k</i> > 1).

Контуры выпуклых многоугольников <i>F</i> и <i>G</i> не имеют общих точек, причём <i>G</i> расположен внутри <i>F</i>. Хорду многоугольника <i>F</i> – отрезок, соединяющий две точки контура <i>F</i>, назовём опорной для <i>G</i>, если она пересекается с <i>G</i> только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону <i>G</i>.

  а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру <i>G</i>.

  б) Докажите, что найдутся две такие хорды.