Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Рассматривается последовательность, <i>n</i>-й член которой есть первая цифра числа 2^<i>n</i>.

Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.

Фигура Ф представляет собой пересечение <i>n</i> кругов  (<i>n</i> ≥ 2,  радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф?  (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)