Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями

Куб с ребром <i>n</i> составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких <i>n</i> это возможно?

Число рёбер многогранника равно 100.

  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?

  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,

  в) но не может равняться 100.

В таблице <i>m</i> строк, <i>n</i> столбцов. <i>Горизонтальным ходом</i> называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется <i>вертикальный ход</i> ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое <i>k</i>, что за <i>k</i> ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98159/problem_98159_img_2.gif">

Сколько полных квадратов встречается среди первых членов этой последовательности, не превосходящих 1000000?