Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

Отмечено 100 точек – <i>N</i> вершин выпуклого <i>N</i>-угольника и  100 – <i>N</i>  точек внутри этого <i>N</i>-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами <i>N</i>-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника <i>XYZ</i> (<i>X, Y, Z</i> – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами <i>N</i>-угольника, и чтобы найти его площадь.

Внутри круга радиуса <i>R</i> взята точка <i>A</i>. Через неё проведены две перпендикулярные прямые. Потом прямые повернули на угол φ относительно точки <i>A</i>. Хорды, высекаемые окружностью из этих прямых, замели при повороте фигуру, имеющую форму креста с центром в точке <i>A</i>. Найдите площадь креста.