Олимпиадные задачи из источника «XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)» для 8-10 класса - сложность 4 с решениями
XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)
НазадНа плоскости дано множество <i>S</i>, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что <i>S</i> можно разбить на два множества <i>X</i> и <i>Y</i> так, что выпуклые оболочки conv <i>X</i> и conv <i>Y</i> имеют поровну вершин.
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки <i>A′, B′, C′</i>, что лучи <i>B′C′, C′A′, A′B′</i> проходят через <i>A, B, C</i> соответственно.
Пусть <i>AK</i> и <i>BL</i> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а Ω – вневписанная окружность <i>ABC</i>, касающаяся стороны <i>AB</i>. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника <i>CKL</i> и окружности Ω пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AP = BQ</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> прямая <i>m</i> касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр <i>I</i> окружности ω и перпендикулярные <i>AI, BI, CI</i>, пересекают прямую <i>m</i> в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC'</i> пересекаются в одной точке.
Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>B</i> пересекаются в точке <i>D</i>. Окружность, проходящая через проекции <i>D</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i>, повторно пересекает <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Аналогично строятся точки <i>A', B'</i>. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC'</i> пересекаются в одной точке.
В остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписана окружность с центром <i>I</i>, касающаяся сторон <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> в точках <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно. В четырёхугольники <i>ADIF</i> и <i>BDIE</i> вписаны окружности с центрами <i>J</i><sub>1</sub> и <i>J</i><sub>2</sub> соответственно. Прямые <i>J</i><sub>1</sub><i>J</i><sub>2</sub> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите. что <i>CD</i> ⊥ <i>IM</i>.
<i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты треугольника <i>ABC, B</i><sub>0</sub> – точка пересечения <i>BB</i><sub>1</sub> и описанной окружности Ω, <i>Q</i> – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>0</sub>. Докажите, что <i>BQ</i> – симедиана треугольника <i>ABC</i>.