Олимпиадные задачи из источника «XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)» для 8 класса - сложность 3 с решениями

Вокруг квадрата <i>ABCD</i> описана окружность. Точка <i>P</i> лежит на дуге <i>CD</i> этой окружности, не содержащей других вершин квадрата. Прямые <i>PA, PB</i> пересекают диагонали <i>BD, AC</i> соответственно в точках <i>K, L</i>. Точки <i>M, N</i> – проекции <i>K, L</i> соответственно на <i>CD</i>, а <i>Q</i> – точка пересечения прямых <i>KN</i> и <i>ML</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>AB</i> пополам.

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₃ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂...<i>B</i>₁₃, причём точки <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁₃ совпадают и лежат на отрезке <i>A</i>₁<i>B</i>₁₃, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₉, <i>B</i>₁₃<i>B</i><sub>...

Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.

На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что  ∠<i>AKD</i> = ∠<i>CLD</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>BKL</i> равноудален от <i>A</i> и <i>C</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>C</i>₀ – середина гипотенузы <i>AB, AA</i>₁, <i>BB</i>₁ – биссектрисы, <i>I</i> – центр вписанной окружности.

Докажите, что прямые <i>C</i>₀<i>I</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁ пересекаются на высоте <i>CH</i>.

В треугольнике центр описанной окружности лежит на вписанной окружности.

Докажите, что отношение наибольшей стороны треугольника к наименьшей меньше 2.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором  <i>AC = BD = AD</i>;  точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно; <i>O</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что <i>EF</i> проходит через точки касания вписанной окружности треугольника <i>AOD</i> с его сторонами <i>AO</i> и <i>OD</i>.

<i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC,  H_B, H_C</i> – ортоцентры треугольников <i>ABI</i> и <i>ACI</i> соответственно, <i>K</i> – точка касания вписанной окружности треугольника со стороной <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>H_B, H_C</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.