Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 5-9 класса - сложность 2 с решениями

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> выполнены соотношения  <i>AB = BD</i>,  ∠<i>ABD</i> = ∠<i>DBC</i>.  На диагонали <i>BD</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что  <i>BK = BC</i>.

Докажите, что  ∠<i>KAD</i> = ∠<i>KCD</i>.

Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение  НОК(*, *, ) – НОК(, *, *) = 2009  в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?

В стране Леонардии все дороги – с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго.

У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше чем Мумбо. Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение?