Олимпиадные задачи из источника «16 (2018 год)» для 8 класса - сложность 2-4 с решениями

Разрежьте каждый из равносторонних треугольников со сторонами 2 и 3 на три части и сложите из всех полученных частей равносторонний треугольник.

Фиксированы окружность, описанная около остроугольного треугольника <i>ABC</i>, и вершина <i>C</i>. Ортоцентр <i>H</i> движется по окружности с центром в точке <i>C</i>. Найдите ГМТ середин отрезков, соединяющих основания высот, проведенных из вершин <i>A</i> и <i>B</i>.

Даны треугольник <i>ABC</i> (<i>AB > AC</i>) и описанная около него окружность. Постройте циркулем и линейкой середину дуги <i>BC</i> (не содержащей вершину <i>A</i>), проведя не более двух линий.

На продолжениях сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> за точки <i>A</i> и <i>B</i> соответственно отложены отрезки <i>AE = BC</i> и <i>BF = AC</i>. Окружность касается отрезка <i>BF</i> в точке <i>N</i>, стороны <i>BC</i> и продолжения стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i>. Точка <i>M</i> – середина отрезка <i>EF</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна биссектрисе угла <i>A</i>.

Биссектриса угла <i>C</i> и внешнего угла <i>A</i> трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>M</i>, а биссектриса угла <i>B</i> и внешнего угла <i>D</i> – в точке <i>N</i>. Докажите, что середина отрезка <i>MN</i> равноудалена от прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что диагональ одного параллелограмма проходит через точку пересечения диагоналей другого. <div align="center"><img align="middle" src="/storage/problem-media/66402/problem_66402_img_2.png"></div>