Олимпиадные задачи из источника «10-11 класс»
10-11 класс
НазадДан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>A'</i> – точка, симметричная <i>A</i> относительно <i>BC, O<sub>A</sub></i> – центр окружности, проходящей через <i>A</i> и середины отрезков <i>A'B</i> и <i>A'C</i>. Точки <i>O<sub>B</sub></i> и <i>O<sub>C</sub></i> определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников <i>ABC</i> и <i>O<sub>A</sub>O<sub>B</sub>O<sub>C</sub></i>.
Из точки <i>A</i> к окружности ω проведена касательная <i>AD</i> и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> (<i>B</i> лежит между точками <i>A</i> и <i>C</i>). Докажите, что окружность, проходящая через точки <i>C</i> и <i>D</i> и касающаяся прямой <i>BD</i>, проходит через фиксированную точку (отличную от <i>D</i>).
В выпуклой <i>n</i>-угольной призме равны все боковые грани. При каких <i>n</i> эта призма обязательно прямая?
Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65649/problem_65649_img_2.png"></div>
Дан правильный семиугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub>. Прямые <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и <i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub> пересекаются в точке <i>X</i>, а прямые <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>5</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>6</sub> – в точке <i>Y</i>.
Докажите,...
Прямая, проходящая через центр <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, перпендикулярна <i>AI</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. В треугольниках <i>BC'I</i> и <i>CB'I</i> провели высоты <i>C'C</i><sub>1</sub> и <i>B'B</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> лежит на прямой, проходящей через точку <i>I</i> и перпендикулярной <i>BC</i>.