Олимпиадные задачи из источника «07 (2009 год)» для 8-11 класса - сложность 3 с решениями

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть <i>C</i>₁ – более удалённая от вершины <i>C</i> точка пересечения окружностей, построенных на медианах <i>AM</i>₁ и <i>BM</i>₂. Точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

В остроугольном треугольнике проведены высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i> на прямую <i>AC</i>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <i>A</i>₁<i>CB</i>₁.

В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?