Олимпиадные задачи из источника «7 класс» для 4-8 класса - сложность 1-2 с решениями

На каждой из ста карточек записано по одному числу, отличному от нуля, так, что каждое число равно квадрату суммы всех остальных.

Какие это числа?

На сетке из равносторонних треугольников построен угол <i>ACB</i> (см. рисунок). Найдите его величину.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65147/problem_65147_img_2.png"></div>

Бумажный равносторонний треугольник перегнули по прямой так, что одна из вершин попала на противоположную сторону (см. рисунок).

Докажите, что углы двух белых треугольников соответственно равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65144/problem_65144_img_2.png"></div>

Из натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100.

Верно ли, что среди выбранных чисел всегда найдется квадрат какого-нибудь целого числа?

Петя склеил бумажный кубик и записал на его гранях числа от 1 до 6 так, чтобы суммы чисел на любых двух противоположных гранях были одинаковыми. Вася хочет разрезать этот кубик так, чтобы получить развёртку, показанную на рисунке. При этом Вася старается, чтобы суммы чисел по горизонтали и по вертикали в этой развёртке отличались как можно меньше. Какая самая маленькая положительная разность может у него получиться, независимо от того, каким образом расставлял числа Петя?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65141/problem_65141_img_2.png"></div>

Три пирата делили мешок монет. Первый забрал ³/₇ всех монет, второй – 51% остатка, после чего третьему осталось на 8 монет меньше, чем получил второй. Сколько монет было в мешке?