Олимпиадные задачи из источника «2017/2018» - сложность 3 с решениями
Может ли квадрат являться развёрткой некоторой треугольной пирамиды?
На гипотенузе <i>AВ</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точку <i>D</i> так, что <i>ВD = AС</i>. Докажите, что в треугольнике <i>AСD</i> биссектриса <i>AL</i>, медиана <i>СM</i> и высота <i>DH</i> пересекаются в одной точке.
В выпуклом четырёхугольнике <i>АВСD</i> точка <i>K</i> – середина стороны <i>ВС</i>, а <i>S<sub>АВСD</sub></i> = 2<i>S<sub>АKD</sub></i>.
Найдите длину медианы <i>КЕ</i> треугольника <i>AKD</i>, если <i>AB = a, CD = b</i>.
Пусть <i>R</i><sub>1</sub>, <i>R</i><sub>2</sub> и <i>R</i><sub>3</sub> – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что <sup>1</sup>/<sub><i>R</i><sub>1</sub></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>R</i><sub>2</sub></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>R</i><sub>3</sub></sub> ≤ <sup>1</sup>/<sub><i>r</i></sub>, где <i>r</i> – радиус вписанной окружности этого треугольника.
В треугольнике <i>АВС</i> ∠<i>В</i> = 110°, ∠<i>С</i> = 50°. На стороне <i>АВ</i> выбрана такая точка <i>Р</i>, что ∠<i>РСВ</i> = 30°, а на стороне <i>АС</i> – такая точка <i>Q</i>, что
∠<i>ABQ</i> = 40°. Найдите угол <i>QPC</i>.