Олимпиадные задачи из источника «10 класс» - сложность 3 с решениями

Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что  ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i>.

Найдите наименьшее значение площади треугольника <i>ABC</i>, если  <i>BD = a</i>.

В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>АА</i>₁. Докажите, что серединный перпендикуляр к <i>АА</i>₁, перпендикуляр к <i>ВС</i>, проходящий через точку <i>А</i>₁, и прямая <i>АО</i> (<i>О</i> – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.