Олимпиадные задачи из источника «2013 год» для 9 класса - сложность 4 с решениями
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по 5 шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Через <i>A</i><sub>1</sub> обозначим середину дуги <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, не содержащей точки <i>A</i>, а через <i>A</i><sub>2</sub> – середину дуги <i>BAC</i>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>A</i><sub>1</sub> на прямую <i>A</i><sub>2</sub><i>I</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.
а) Докажите, что точки <i>A'</i>, <i>B'</i>...