Олимпиадные задачи из источника «2012 год» - сложность 4 с решениями
Обозначим через <i>S</i>(<i>n</i>, <i>k</i>) количество не делящихся на <i>k</i> коэффициентов разложения многочлена (<i>x</i> + 1)<i><sup>n</sup></i> по степеням <i>x</i>.
а) Найдите <i>S</i>(2012, 3).
б) Докажите, что <i>S</i>(2012<sup>2011</sup>, 2011) делится на 2012.
Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа <i>S</i> найдутся прямоугольники суммарной площади больше <i>S</i>.
а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.
Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества {1, 2, 3, ..., 2<i><sup>k</sup></i>}, а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Для произвольной прямой <i>l</i> обозначим через <i>l<sub>a</sub></i>, <i>l<sub>b</sub></i>, <i>l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно сторон треугольника, а через <i>I<sub>l</sub></i> – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек <i>I<sub>l</sub></i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.
В клетках таблицы <i>m</i>×<i>n</i> расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах <i>m</i> и <i>n</i>, больших 100, такое возможно?