Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 3-8 класса - сложность 2-3 с решениями

Пусть <i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, O</i> – центр описанной около этого треугольника окружности, <i>D</i> – такая точка на стороне <i>AC</i>, что  <i>AD = AB</i>.  Докажите, что прямые <i>AO</i> и <i>LD</i> перпендикулярны.

Велосипедист путешествует по кольцевой дороге, двигаясь в одном направлении. Каждый день он проезжает 71 км и останавливается ночевать на обочине. На дороге есть аномальная зона длины 71 км. Если велосипедист останавливается в ней на ночлег на расстоянии <i>y</i> км от одной границы зоны, просыпается он в противоположном месте зоны, на расстоянии <i>y</i> км от другой её границы. Докажите, что в каком бы месте велосипедист ни начал своё путешествие, рано или поздно он остановится в нём на ночлег или же в нём проснётся.

Две команды КВН участвуют в игре из четырёх конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку – целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырёх полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей?