Олимпиадные задачи из источника «2006 год» для 7 класса - сложность 2 с решениями
На олимпиаде <i>m>1</i> школьников решали <i>n>1</i> задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.
Девять одинаковых по виду монет расположены по кругу. Пять из них настоящие, а четыре — фальшивые. Никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Настоящие монеты весят одинаково, и фальшивые — одинаково (фальшивая монета тяжелее настоящей). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все фальшивые монеты?
Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> – равнобедренные прямоугольные (стороны <i>AB</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> – гипотенузы). Известно, что <i>C</i><sub>1</sub> лежит на <i>BC, B</i><sub>1</sub> лежит на <i>AB</i>, а <i>A</i><sub>1</sub> лежит на <i>AC</i>. Докажите, что <i>AA</i><sub>1</sub> = 2<i>CC</i><sub>1</sub>.
В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?