Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 9 класса - сложность 1-2 с решениями

Девять одинаковых по виду монет расположены по кругу. Пять из них настоящие, а четыре — фальшивые. Никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Настоящие монеты весят одинаково, и фальшивые — одинаково (фальшивая монета тяжелее настоящей). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все фальшивые монеты?

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ – равнобедренные прямоугольные (стороны <i>AB</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁ – гипотенузы). Известно, что <i>C</i>₁ лежит на <i>BC, B</i>₁ лежит на <i>AB</i>, а <i>A</i>₁ лежит на <i>AC</i>. Докажите, что  <i>AA</i>₁ = 2<i>CC</i>₁.