Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из <i>k</i> цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если

  а)  <i>k</i> = 7;   б)  <i>k</i> = 10.

Дана последовательность  <i>a_n</i> = 1 + 2^<i>n</i> + ... + 5^<i>n</i>.  Существуют ли пять идущих подряд её членов, кратных 2005?

Конструктор состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном наборе одно из измерений каждого параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно уменьшить одно из измерений (параллелепипеды укладываются в коробку так, что их рёбра параллельны рёбрам коробки)?

На сторонах треугольника <i>ABC</i> вовне построены квадраты <i>ABB</i>₁<i>A</i>₂, <i>BCC</i>₁<i>B</i>₂ и <i>CAA</i>₁<i>C</i>₂. На отрезках <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂ также во внешнюю сторону от треугольников <i>AA</i>₁<i>A</i>₂ и <i>BB</i>₁<i>B</i>₂ построены квадраты <i>A</...

На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.

Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?