Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом <i>p</i> является простым числом.

Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами.

Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?

Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет два различных действительных корня, а сумма любых двух из них действительных корней не имеет?