Олимпиадная задача: многочлен с целыми коэффициентами и значения в простых числах

  Предположим, что такой многочлен  Q(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  существует.

  Если  a₀ = 0,  то  Q(x) = x(a_nx^n–1 + a_n–1x^n–2 + ... + a₁),  следовательно, при простом p число Q(p) делится на p и больше p (поскольку степень Q больше 1), поэтому Q(p) – число составное.

  Допустим,  a₀ ≥ 2.  Обозначим через p некоторый простой делитель a₀. Тогда Q(p) делится на p и больше p, значит, Q(p) – число составное. Таким образом, имеется единственная возможность:  a₀ = 1.

  Если для любого простого p число Q(p) простое, то и число Q(Q(p)) является простым при любом простом p. Значит, свободный член многочлена Q(Q(x)) должен равняться 1. Однако,  Q(Q(0)) = Q(1) = a_n + a_n–1 + ... + a₁ + 1 > 1.  Противоречие.

Ответ задачи отсутствует