Олимпиадная задача по математике: натуральность члена геометрической прогрессии

  Пусть a₁, a₂, ..., a_n, ... – данная геометрическая прогрессия, q – её знаменатель. По условию a₁,  a₁₀ = a₁q⁹  и  a₃₀ = a₁q²⁹  – натуральные числа. Поэтому q⁹ и q²⁹ – положительные рациональные числа. Отсюда следует, что  q² = q²⁹(q⁹)^–3 – положительное рациональное число и  q = q⁹(q²)^–4  также положительное рациональное число.

  Пусть  q = ^m/_n,  где m и n – натуральные взаимно простые числа. Число  a₃₀ = a₁m²⁹n^–29  натуральное, m²⁹ и n²⁹ взаимно просты, следовательно, a₁ делится на n²⁹. Отсюда получаем, что  a₂₀ = a₁q¹⁹ = a₁m¹⁹n^–19  – число натуральное.

Верно.