Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 8 класса - сложность 4 с решениями

<i> ABCD </i>– выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках<i> AB </i>и<i> CD </i>как на диаметрах, касаются внешним образом в точке<i> M </i>, отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки<i> A </i>,<i> M </i>и<i> C </i>, вторично пересекает прямую, соединяющую точку<i> M </i>и середину<i> AB </i>в точке<i> K </i>, а окружность, проходящая через точки<i> B </i>,<i> M </i>и<i> D </i>, вторично пересекает ту же прямую в точке<i> L </i>. Докажите, что<i> |MK-ML| = |AB-CD| </i>.

Из колоды вынули семь карт, показали всем, перетасовали и раздали Грише и Лёше по три карты, а оставшуюся карту

  а) спрятали;

  б) отдали Коле.

Гриша и Лёша могут по очереди сообщать вслух любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом Коля не смог вычислить местонахождение ни одной из тех карт, которых он не видит? (Гриша и Лёша не договаривались о каком-либо особом способе общения; все переговоры происходят <i>открытым текстом</i>.)