Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.

2<i>n</i> шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).

Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на <i>n</i>, то она изменилась ровно на <i>n</i>.

По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют <i>n</i> поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции <i>A, B</i> и <i>C</i> (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию <i>A</i> и одновременно Лёша входит на станцию <i>B</i>, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?

В выпуклом шестиугольнике <i>AC</i>₁<i>BA</i>₁<i>CB</i>₁   <i>AB</i>₁ = <i>AC</i>₁,  <i>BC</i>₁ = <i>BA</i>₁,  <i>CA</i>₁ = <i>CB</i>₁  и  ∠<i>A</i> + ∠<i>B</i> + ∠<i>C</i> = ∠<i>A</i>₁ + ∠<i>B</i>₁ + ∠<i>C</i>₁.

Докажите, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна половине площади шестиугольника.

На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?

Пусть  1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>n</i>–1 = <i>F</i>(<i>x</i>)<i>G</i>(<i>x</i>),  где <i>F</i> и <i>G</i> – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (<i>n</i> > 1).

Докажите, что один из многочленов <i>F</i>, <i>G</i> представим в виде  (1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>k</i>–1)<i>T</i>(<i>x</i>),  где <i>T</i>(<i>x</i>) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (<i>k</i> > 1).