Олимпиадные задачи из источника «1983 год» для 10 класса - сложность 3 с решениями

За круглым столом сидят 13 богатырей из <i>k</i> городов, где  1 < <i>k</i> < 13.  Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже <i>k</i>. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.

Доказать, что  4^<i>m</i> − 4^<i>n</i>  делится на 3^<i>k</i>+1 тогда и только тогда, когда  <i>m − n</i>  делится на 3^<i>k</i>.

Доказать, что  1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³  делится на  1 + ... + 1983.