Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур» для 2-9 класса - сложность 2-5 с решениями

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности: а) набор цифр 1234; 3269; б) вторично набор 1975?

Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 31 камня. Мальчики делают ходы поочерёдно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?

В окружность вписан выпуклый 7-угольник. Известно, что какие-то три его угла равны120^<tt>o</tt>. Доказать, что найдутся две его стороны, имеющие одинаковую длину.

Какое из двух чисел больше:   а)   <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_2.gif">   (100 двоек) или   <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_3.gif">   (99 троек);   б)   <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_3.gif">   (100 троек) или   <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_4.gif">   (99 четвёрок).