Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 7-9 класса - сложность 1-4 с решениями

На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.

Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

Дано число  <i>A</i> = <img width="16" height="44" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79263/problem_79263_img_2.gif"><img width="66" height="41" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79263/problem_79263_img_3.gif"><img width="28" height="46" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79263/problem_79263_img_4.gif">,  где <i>n</i> и <i>m</i> – натуральные числа, не меньшие 2.

Доказать, что существует такое натуральное <i>k</i>, что  <i>A</i> = <img width="93" height="58" align="MIDDLE" b...

Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называются<i>похожими</i>, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?