Олимпиадные задачи из источника «1968 год» для 11 класса - сложность 4 с решениями
Две прямые на плоскости пересекаются под углом$\alpha$. На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол$\alpha$измеряется рациональным числом градусов.
В пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые,<i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>,<i>l</i><sub>3</sub>,<i>l</i><sub>4</sub>, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость<i>P</i>так, чтобы точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>,<i>A</i><sub>4</sub>пересечения этих прямых с<i>P</i>образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?