Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» - сложность 2-3 с решениями

Докажите, что если <i>p</i> и <i>q</i> – два простых числа, причём  <i>q = p</i> + 2,  то  <i>p^q + q^p</i>  делится на  <i>p + q</i>.

Можно ли выбрать 100 000 номеров телефонов из 6 цифр каждый так, чтобы при одновременном вычеркивании из всех этих номеров<i>k</i>-той цифры(<i>k</i>= 1, 2,...6) получились все пятизначные номера от 00000 до 99999?

В коридоре длиной 100 метров постелено 20 ковровых дорожек общей длины 1000 метров. Каково может быть наибольшее число незастеленных кусков (ширина дорожки равна ширине коридора)?

Можно ли расположить на плоскости 1968 отрезков так, чтобы каждый из них обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?

Существует ли четырёхугольник<i>ABCD</i>площади 1 такой, что для любой точки<i>O</i>внутри него площадь хотя бы одного из треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCD</i>,<i>DOA</i>иррациональна.